Bewertungen

Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert, wenn Sie Sigma kennen

Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert, wenn Sie Sigma kennen



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

In der Inferenzstatistik besteht eines der Hauptziele darin, einen unbekannten Populationsparameter zu schätzen. Sie beginnen mit einer statistischen Stichprobe und können daraus einen Wertebereich für den Parameter bestimmen. Dieser Wertebereich wird als Konfidenzintervall bezeichnet.

Vertrauensintervalle

Konfidenzintervalle ähneln sich in einigen Punkten. Erstens haben viele zweiseitige Konfidenzintervalle dieselbe Form:

Schätzen ± Fehlermarge

Zweitens sind die Schritte zum Berechnen von Konfidenzintervallen sehr ähnlich, unabhängig von der Art des Konfidenzintervalls, das Sie suchen. Der spezifische Typ des Konfidenzintervalls, der im Folgenden untersucht wird, ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall für einen Populationsmittelwert, wenn Sie die Populationsstandardabweichung kennen. Angenommen, Sie arbeiten mit einer normal verteilten Grundgesamtheit.

Konfidenzintervall für einen Mittelwert mit einem bekannten Sigma

Nachfolgend finden Sie einen Prozess zum Ermitteln des gewünschten Konfidenzintervalls. Obwohl alle Schritte wichtig sind, ist der erste besonders wichtig:

  1. Überprüfen Sie die Bedingungen: Stellen Sie zunächst sicher, dass die Bedingungen für Ihr Konfidenzintervall erfüllt sind. Angenommen, Sie kennen den Wert der Populationsstandardabweichung, die mit dem griechischen Buchstaben sigma σ bezeichnet wird. Nehmen Sie auch eine Normalverteilung an.
  2. Schätzung berechnen: Schätzen Sie den Populationsparameter - in diesem Fall den Populationsmittelwert - mithilfe einer Statistik, die in diesem Problem den Stichprobenmittelwert darstellt. Dabei wird aus der Grundgesamtheit eine einfache Zufallsstichprobe gebildet. Manchmal können Sie annehmen, dass Ihre Stichprobe eine einfache Zufallsstichprobe ist, auch wenn sie nicht der strengen Definition entspricht.
  3. Kritischer Wert: Ermitteln Sie den kritischen Wert z* Das entspricht Ihrem Selbstvertrauen. Diese Werte werden anhand einer Tabelle mit Z-Scores oder mithilfe der Software ermittelt. Sie können eine Z-Score-Tabelle verwenden, da Sie den Wert der Populationsstandardabweichung kennen und davon ausgehen, dass die Population normal verteilt ist. Übliche kritische Werte sind 1,645 für ein 90-Prozent-Konfidenzniveau, 1,960 für ein 95-Prozent-Konfidenzniveau und 2,576 für ein 99-Prozent-Konfidenzniveau.
  4. Fehlermarge: Berechnen Sie die Fehlerquote z* σ /√n, woher n ist die Größe der einfachen Zufallsstichprobe, die Sie gebildet haben.
  5. Daraus schließen: Stellen Sie abschließend die Schätzung und die Fehlerquote zusammen. Dies kann entweder ausgedrückt werden Schätzen ± Fehlermarge oder als Schätzung - Fehlergrenze zu Schätzung + Fehlergrenze. Stellen Sie sicher, dass Sie den Vertrauensgrad, der mit Ihrem Vertrauensintervall verbunden ist, klar angeben.

Beispiel

Um zu sehen, wie Sie ein Konfidenzintervall erstellen können, arbeiten Sie sich ein Beispiel durch. Angenommen, Sie wissen, dass die IQ-Werte aller ankommenden Studienanfänger normalerweise mit einer Standardabweichung von 15 verteilt werden. Sie haben eine einfache Zufallsstichprobe von 100 Studienanfängern, und der mittlere IQ-Wert für diese Stichprobe beträgt 120. Ermitteln Sie ein 90-Prozent-Konfidenzintervall für der mittlere IQ-Wert für die gesamte Bevölkerung der Studienanfänger.

Führen Sie die oben beschriebenen Schritte aus:

  1. Überprüfen Sie die Bedingungen: Die Bedingungen wurden erfüllt, seit Ihnen mitgeteilt wurde, dass die Populationsstandardabweichung 15 beträgt und Sie es mit einer Normalverteilung zu tun haben.
  2. Schätzung berechnen: Ihnen wurde gesagt, dass Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe 100 haben. Der mittlere IQ für diese Stichprobe beträgt 120, dies ist also Ihre Schätzung.
  3. Kritischer Wert: Der kritische Wert für das Konfidenzniveau von 90 Prozent ist gegeben durch z* = 1.645.
  4. Fehlermarge: Verwenden Sie die Fehlergrenzenformel und erhalten Sie einen Fehler vonz* σ /√n = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
  5. Daraus schließen: Fassen Sie alles zusammen. Ein 90-Prozent-Konfidenzintervall für den mittleren IQ-Wert der Bevölkerung beträgt 120 ± 2,467. Alternativ können Sie dieses Konfidenzintervall als 117,5325 bis 122,4675 angeben.

Praktische Überlegungen

Konfidenzintervalle des obigen Typs sind nicht sehr realistisch. Es ist sehr selten, die Populationsstandardabweichung zu kennen, aber den Populationsmittelwert nicht zu kennen. Es gibt Möglichkeiten, diese unrealistische Annahme zu beseitigen.

Während Sie eine Normalverteilung angenommen haben, muss diese Annahme nicht gelten. Gute Samples, die keine starke Schiefe aufweisen oder Ausreißer aufweisen, sowie ein ausreichend großes Sample ermöglichen es Ihnen, den zentralen Grenzwertsatz zu verwenden. Infolgedessen ist es gerechtfertigt, eine Tabelle mit Z-Scores zu verwenden, auch für Populationen, die nicht normal verteilt sind.